ТВОРЧИЙ ЗВІТ

 Завальницька  Людмила Федорівна – вчитель-методист Першотравневої загальноосвітньої школи І-ІІІ ступенів Снігурівської районної ради Миколаївської області.

 Якщо говорити про Людмилу Федорівну взагалі, то це природжений вчитель. Вона завжди в курсі всіх методичних новинок, але відбирає для себе найбільш результативні, творчо втілює, враховуючи особливості класу, рівень підготовки учнів, ступінь складності матеріалу. Успішна реалізація форм і методів навчання забезпечується змістом знань і якістю засвоєння школярами програмового матеріалу.

Глибина, міцність, усвідомленість знань – запорука розвитку учнів. Вчителька цілеспрямовано формує в них вміння логічно і самостійно мислити. Саме тому її вихованці оволодівають прийомами порівняння, узагальнення, абстрагування, класифікації, систематизації. Лагідність у поєднанні з вимогливістю і суворістю, готовність до співчуття при невдачах, уміння  щиро радіти найменшому успіху – все це складові доброзичливої атмосфери на її уроках, що забезпечує високий рівень мотивації навчальної діяльності школярів, активізує інтерес до предмета. Так крок за кроком формується потреба знати якомога більше.

Вчителька планує свою роботу на перспективу. Тобто, завдання і вправи, котрі вона пропонує, можуть розв’язуватися різними способами, залежно від обсягу знань, якими учні володіють у даний час. Тому до них згодом повертаються. У такий спосіб вона вивчає побудову графіків, функцій, опорні задачі планіметрії. Шлях до успіху школярів вчителька вбачає у пріоритеті теоретичних знань, міцне засвоєння яких створює надійний фундамент для формування практичних умінь і навичок. Тому вимагає дуже ретельного вивчення теоретичного матеріалу. Обов’язково показує учням його зв'язок з раніше засвоєним, місце нових фактів у системі математичної підготовки. Теореми, правила, алгоритми неодмінно знаходять своє практичне застосування. Таким чином учням надається можливість ще раз стисло «пройти» увесь ланцюжок логічних міркувань, на якісно новій основі повторити раніше вивчене.

Людмила Федорівна активно використовує і метод укрупнених одиниць, зокрема для вивчення тем і розділів, об’єднаних спільною ідеєю. Перед вивченням того чи іншого поняття вчителька пропонує учням пригадати по можливості все, що його стосується. Так активізується навчальний матеріал, а учні ще раз переконуються в доцільності набутих раніше знань.

Важливого значення надає вчителька системі вправ, яка повинна забезпечувати наступність у формуванні практичних умінь і навичок, сприяти свідомому і міцному засвоєнню навчального матеріалу, мусить бути інформаційно насиченою і здійснювати інформаційний зв'язок  між теоретичними знаннями і кільцевими результатами навчання.

Глибоко усвідомлює вчителька і роль позакласної роботи, намагається пов’язати її з урочною, для того щоб викликати інтерес до матеріалу, що вивчається, заохотити учнів працювати з додатковою літературою. Активна, творча, пізнавальна діяльність учнів – головна турбота вчительки. А спланувати цю діяльність – значить забезпечити успіх навчання, високу результативність занять.

Математика складається головним чином з фактів, які можна уявити і описати подібно будь-якому явищу природи. Ці факти, сформульовані іноді очевидно у вигляді теорем, іноді лише згадуються у ході доведення і будуть існувати завжди. Мати високий рівень знань з області математики означає не лише готовність наводити достатньо довгі списки математичних фактів і уміння відтворити доведення деяких з них.

Активність математичних знань – прагнення і здатність все осмислити: спів ставити окремі факти, пов’язати нове із раніше вивченим, незвичне зі звичайним по аналогії, складне розділити на частини, знайти використання загального правила до даного часткового випадку, перейти від одиничного факту до загальної закономірності і т.д.

Основне завдання вчителя математики – розглядати зміст математичної науки як систему, виробляти в учнів навички набуття системних знань, адекватних науковим. Це передбачає насамперед конкретну роботу з підручником, зведення навчальної інформації у системні блоки, логічно пов’язані між собою.

І. Основні поняття.

ІІ.Основні положення.

ІІІ.Висновки

Система завдань спрямовується на переробку навчальної інформації або на самостійне дослідження відповідного тексту підручника. Запропонована система завдань допомагає заглибитись у суть матеріалу, що вивчається, а також встановлювати зв’язки нового з засвоєним раніше, акцентуючи увагу на найголовнішому. У старших класах доцільні уроки-лекції, на яких розкриваються основні положення теми. Учням пропонуються поняття, на які вони повинні знайти відповідь у процесі лекції. Розповідь вчителя повинна бути зразком аргументованого і послідовного викладу наукової істини.

Глибоко переконана, що жодний вид діяльності – ані найцікавіший прийом, а ні прекрасний творчий урок або позакласний захід – не принесе користі, якщо немає єдиної методичної системи роботи вчителя і учнів. Працюю за технологією, яка складається з п’яти основних елементів:

-         первинне представлення матеріалу;

-         оперативний контроль засвоєння знань;

-         глибоке розучування матеріалу;

-         заключний контроль;

-         система узагальнюючого повторення.

Суть прийому узагальнення і систематизації знань та шляхи його формування.

Під узагальненням розуміють перехід на більш високий ступінь абстракції шляхом виявлення суттєвих властивостей певних об’єктів.

У психолого- педагогічній літературі поняття узагальнення трактують по-різному: як результат, як процес, як метод і як розумову дію (прийом).

Узагальнення – це розумова дія (прийом), що включає вміння аналізувати, синтезувати. І хоч всі ці дії взаємопов’язані, спочатку слід формувати складові компоненти прийому узагальнення.

Розкриваємо суть вказаних вище прийомів.

Порівняння – розумова дія, за допомогою якої встановлюються спільні  властивості (зіставлення) і відмінні (протиставлення) властивості об’єктів.

Наприклад:

1) Назвати спільні (відмінні  властивості)

а) функції   у = х²  і у = х³;

б) понять відрізок і промінь;

в) понять прямий і прямокутний паралелепіпед.

Абстрагування – виділення суттєвих (головних) рис, якостей певних об’єктів і нехтування другорядними.

Аналіз (як прийом мислення) – міркування від наслідку до причини (аналіз задачі – це міркування від запитання до умови задачі). Розрізняють матеріальний аналіз – поділ цілого на частини. (При розв’язуванні задач – матеріальний аналіз – це поділ складної задачі на елементарне, послідовне розв’язування яких призводить до розв’язування складної задачі).

Синтез (як прийом мислення) – міркування від причини до наслідку (при розв’язуванні задач синтез – це міркування від умови до запитання задачі.) А матеріальний синтез – об’єднання частин у ціле.

Узагальнення широко використовуються у навчальному процесі, адже уміння узагальнювати – важливий компонент розумового розвитку школярів.

Принцип опирається на вузлові положення, що відіграють роль закономірних начал: людина лише тоді оволодіває справжніми і дійовими знаннями, коли в її мозку відбивається чітка картина навколишнього світу як система взаємопов’язаних понять.

І головним засобом формування цієї системи є належним чином організований і скерований навчально-виховний процес. Система наукових знань формується в тій послідовності, яка визначається внутрішньою логікою навчального матеріалу, розвитку навчально- виховного процесу і пізнавальними можливостями учнів.

У практиці принцип узагальнення і систематизації знань реалізується шляхом додержання багатьох правил, найважливіші з них такі:

1.     Застосовуйте плани, схеми для ефективного засвоєння учнями системи знань. Розділяйте зміст навчання на логічно завершені частини, привчайте до цього учнів.

2.     Не ставте на уроці питань, не заносьте до плану пункти, на ґрунтовне розкриття і розгляд яких не розраховуєте.

3.     Не допускайте порушення системи як у змісті, так і у способах навчання.

4.     Навчальний предмет – зменшена копія науки. З’ясуйте учням її систему, формуйте поняття про предмет як відбиток науки, реальної дійсності. Постійно застосовуйте між предметні зв’язки.

5.     Не забувайте, що розуміння системи вимагає логіки, а формування її – також почуттів і емоцій. Навчайте і виховуйте, використовуючи яскраві факти, бо поняття пояснюють, а образи кличуть.

6.     Застосовуйте найновіші надбання методики: складайте зі своїми учнями опорні конспекти, структурно-логічні схеми, алгоритми тощо, які полегшують і прискорюють засвоєння знань.

7.     Частіше повторюйте і вдосконалюйте, що вивчалося раніше, вводьте його в нові системи зв’язків.

8.     Нічим не перевантажуйте пояснення нового матеріалу, додавайте лише те, що легко, просто, природно вступає в асоціативні зв’язки. Плануйте засвоєння найголовніших ідей на весь період навчально-виховного процесу відповідно до змісту навчання й можливостей учнів.

9.     Повторюйте і систематизуйте вивчене не лише на початку уроку (для перевірки засвоєного) і в кінці уроку ( для закріплення набутих знань), а також після завершення кожної логічно закінченої частини матеріалу. Практикуйте кількаразове повторення головних ідей в ході уроку.

10.  Постійно і терпляче привчайте своїх вихованців до самостійної роботи. Продумуйте її доцільність на кожному етапі уроку. Суспільству потрібна компетентна творча особистість.

11.  Дотримуйтесь фізіологічних норм розумової активності учнів, плануйте і передбачайте її спади і підйоми.

12.  Не зловживайте актуалізацією чуттєвого досвіду і опорних знань учнів. До них вдавайтеся, щоб підготувати учнів до сприймання нового матеріалу.

Якісний навчальний процес той, у якому учні – активні учасники. «Повноцінним є тільки ті знання, які дитина здобула власною активністю»(Песталоцці).

13.  Терпляче і доброзичливо виправляйте помилки учнів, привчайте їх до самоконтролю і самоаналізу.

14.  Не забувайте поради Я.А.Коменського:  все первинне здійснюватиметься в нерозривній послідовності так, щоб сьогоднішнє закріплювало вчорашнє і прокладало дорогу до завтрашнього.

15.  Лише результати навчально-виховного процесу, ось що характеризує систему роботи вчителя: з урахуванням цього робіть правильні висновки.

Види узагальнень

Розрізняють емпіричні і змістовні узагальнення. Емпіричні опираються на зіставлення часткових випадків і поступове виділення спільного. При цьому має бути широка варіація другорядних властивостей при інваріативності суттєвих. Емпіричні узагальнення займають значне місце в розумовій діяльності учнів, особливо середніх класів, в силу психологічних особливостей їх мислення. Емпіричні узагальнення характерні для учнів з середніми здібностями і нездібних до математики.

Змістовні узагальнення найбільше ефективні для розвитку творчого мислення учнів. Творче мислення виникає тоді, коли з самого початку вивчення предмету чи теми учнів орієнтують на засвоєння узагальненого способу орієнтації в даній області знань, узагальненого способу розв’язування широких класів задач.

Види емпіричних узагальнень

Емпіричні узагальнення поділяють на індуктивні (від окремих, часткових до загальних) і дедуктивні (від загального до часткового). Відомо, що засобом пізнання загального виступають, зокрема, індуктивні узагальнення.

Індукція буває повна і неповна. Виділяють також і математичну індукцію. Індуктивні узагальнення відповідають неповній індукції. Висновки, при цьому одержані, мають лише вірогідний характер. Тому їх істинність треба довести або спростувати.

Наприклад, довгий час вважали, що Ейлер відкрив формулу простого числа п² + п + 41. Безпосередня перевірка підтверджує цей висновок для п=1,2,…39. Але при п=40 одержимо 1681=41² .  Для індуктивних узагальнень характерна така послідовність розумових дій: аналіз і порівняння, абстрагування, узагальнення.

При формуванні узагальнень у школі використовують ізолюючу, підкреслюючи та протиставляючи абстракції.

При ізолюючій абстракції виділяють спільні суттєві властивості і не звертають увагу на другорядні.

При підкреслюючій абстракції виявляються і узагальнюються спільні суттєві властивості, а несуттєві підкреслюються як фон, але учні не піднімаються до усвідомлення принципу другорядного.

Протиставляюча абстракція складається з двох «фаз».

Перша фаза узагальнення-виділення і узагальнення суттєвих властивостей, друга фаза узагальнення-виділення і узагальнення другорядних властивостей.

Дослідження психологів підтвердили, що двофазове узагальнення – найбільш ефективний шлях навчання.  В.М.Осинська вказує таку послідовність дій при двофазному формуванні узагальнення:

а) зіставити задані об’єкти;

б) виділити в них спільні суттєві властивості;

в)сформулювати суттєві властивості у вигляді першого висновку;

г) зіставити ті самі об’єкти;

д) виділити несуттєві властивості і встановити межі їх вирівнювання;

е) сформулювати висновок;

є) узагальнити несуттєві властивості.

Крім індуктивних узагальнень, при яких загальні суттєві властивості невідомі, їх шукають, існують дедуктивні узагальнення – коли загальні суттєві властивості відомі і їх необхідно розпізнати в запропонованих об’єктах.

Психологи такі завдання називають завданнями на підведення під поняття або на розпізнавання. Формування вмінь підводити під поняття рівносильне формуванню дедуктивних узагальнень. У свою чергу дедуктивні узагальнення – основа класифікації, а узагальнення і класифікація – загально пізнавальні дії (прийоми), які необхідні учням для оволодіння будь-яким навчальним предметам.

Змістовні узагальнення

Психологи дійшли висновку, що крім емпіричних узагальнень, основою яких є аналіз чи синтез. Це так званий шлях теоретичних, змістовних узагальнень.

В залежності від типу узагальнень мислення називають емпіричним або теоретичним. Характерною особливістю емпіричного мислення є те, що воно відображає лише зовнішні зв’язки явищ, об’єктів. Теоретичне мислення ще називають науковим. Емпіричному мисленню відповідає індуктивний шлях пізнання, а теоретичному – дедуктивний. При змістовних узагальненнях майже не застосовується порівняння, аналіз проводять не елементарний, а поглиблений, спрямований на пізнання внутрішніх суттєвих зв’язків і відношень системи об’єктів.

Такий аналіз здійснюється через синтез і передбачає включення у все нові зв’язки не лише даних в умові, а й вихідних з них проміжних даних. Завдяки такому підходу у цих даних розкриваються не виявлені раніше властивості, відношення, нові можливості їх використання. Вчитель, який добирає базові задачі певної теми і на 1-2 прикладах розкриває суть загального підходу до розв’язання задач даного типу, вчить своєрідному алгоритму розв’язування задач аналогічного характеру, навчає учнів здійснювати змістовне узагальнення.

Шляхи формування прийому узагальнення.

Стихійний шлях – коли на уроці не планується формування окремих прийомів розумових дій чи їх системи. Вважається, що в ході вивчення матеріалу само собою розвивається і мислення учнів.

Опосередкований шлях – суть його полягає в тому, що вчитель планує, як окрему мету уроку формування певних прийомів розумової діяльності. Для дослідження цієї мети вчитель добирає спільні завдання, спрямовані на формування тих чи інших прийомів.

Прямий шлях – це цілеспрямоване формування певних структур розумової діяльності. Вчитель виділяє як окрему мету формування того чи іншого прийому. При цьому він знайомить учнів з структурними компонентами прийому, його суттю, алгоритмом, пояснює роль прийому в процесі навчання, формує навички оволодіння даним прийомом.

Отже, опосередкований і прямий шляхи передбачають формування розумових і навчальних дій у процесі вивчення учбового матеріалу.

Засвоєння шкільного курсу математики передбачає:

1)    Оволодіння понятійним апаратом;

2)    Засвоєння теореми;

3)    Оволодіння методами розв’язування певних класів задач.

Розглянемо зразки завдань, спрямованих на формування деяких структурних компонентів прийому узагальнення у процесі засвоєння вказаних трьох категорій.

Зразки завдань, спрямованих на формування протиставляючої абстракції

1.У процесі вивчення понять доцільно складати таблиці за такою схемою:

№з/п

поняття

Суттєві властивості

Другорядні властивості

2. Користуючись графіками відповідних функцій, назвати їх суттєві властивості; перерахувати спільні суттєві властивості; назвати другорядні властивості. Аналогічні запитання можна пропонувати при вивченні геометричних фігур, їх властивостей, рівнянь, нерівностей, методів розв’язування задач.

Скільки граней, ребер і вершин мають  1) куб, 2) трикутна піраміда, 3) зрізана чотирикутна піраміда?  Встановіть залежність між знайденими числами. Перевірте свій висновок на якомусь многограннику. Сформулюйте загальний висновок у вигляді теореми (теорема Ейлера)

Знайдіть помилку в міркуваннях:

Чи тотожні вирази           

Обидві частини рівняння                  помножили на       

У якому випадку можуть з’явитись сторонні корені? Які саме?

Типи завдань, спрямованих на формування прийому підведення під поняття.

1)    Серед даних об’єктів (фігур, функцій, рівнянь, нерівностей тощо) назвати такі-то:

а) Які з поданих функцій є лінійними:

         б) Дано квадратні функції, визначте, яку спільну властивість вони мають:

2)    Чи правильне твердження:

а) якщо коло площиною має дві спільні точки, то всі точки цього кола лежать у даній площині?

б) якщо дві точки кола і центр лежать на площині, то всі точки кола лежать на площині:

Яке з рівнянь не має розв’язків і чому?

Вказати невірне співвідношення

Чи однакові за змістом висловлення:

«площини          перетинаються» і «площини               мають спільну точку»;

«прямі а і в лежать в різних площинах» і «пряма а і в не лежать в одній площині»?

3)    Порівняйте значення виразів і зробіть висновок:

а)

б) назвіть і порівняйте області визначення функцій

            

4)     Записати суттєві властивості поняття «Суміжні кути», вказані в означення. Відкинути одну з суттєвих властивостей. Зобразити фігури, яким притаманна решта суттєвих властивостей.

Учні повинні усвідомити, що відкидання однієї з видових ознак призводить до одержання більш широкого родового поняття. Той же результат одержимо при заміні конкретних числових даних параметрами, при знятті певних обмежень, тощо.

ІІІ. Типи завдань на формування прийому виділення головного.

1). Складання таблиць виду:

Твердження     Наслідки

2) Заповніть таблицю:

функція
Основний період

Узагальнити результати, сформулювати твердження про періодичність одного класу функцій і довести його.

Скласти аналогічні завдання для інших тригонометричних функцій. Зробити висновок.

На яке питання слід дати негативну відповідь:

1.     Чи вірно, що якщо                                                                               ?

2.     Чи вірно, що якщо                                                                               ?

3.     Чи вірно, що якщо                                                                             ?

4.     Чи вірно, що якщо                                                                             ?

2)Записати суттєві властивості понять

а)  Рівнобедрений трикутник                Рівносторонній трикутник

б)  Взаємне розміщення прямих

         на площині        у просторі

в)  Властивості

Додавання Чисел                          векторів		Множення чисел	Множення вектора на число
а + о = а а + в = в + а (а+в) + с= а + (в+с)	а + о = а а + в = в + а (а + в) + с = а + (в+с)	а   в   =  в   а (а  в)  с = а(в  с) а (в+с) = ав + ас	х  (уа) = (ху) а ха + уа =(х+у) а ха + хв = х(а+в)

г) сформулювати ідею доведення теореми-ознаки перпендикулярності прямої і площини;

д) сформулювати алгоритм розв’язування нерівності                 ; розв’язування нерівності методом інтервалів; квадратичної нерівності тощо;

е) скласти послідовність узагальнення поняття: правильний многокутник, арифметична прогресія, кут.

є) сформулювати правило-орієнтир доведення:

- рівності відрізків;

- рівності трикутників;

- паралельності прямої і площини тощо.

Вчу учнів самостійно складати алгоритм розв’язування вправ.

Скласти алгоритм розв’язування нерівності 

1.     Перепишемо нерівність, враховуючи, що функція 

2.     Будуємо одиничне коло. Визначаємо кути, для яких

3.     Вибираємо і позначаємо на колі інтервал, що задовольняє нерівності (наводимо  лінією відповідну дугу кола)

4.     Вказуємо початок і кінець інтервалу. (Рухатись треба проти годинникової стрілки вздовж вибраного інтервалу, відзначаючи на колі його початок і кінець).

5.     Знаходимо значення на кінцях інтервалу і перевіряємо, щоб значення початку інтервалу було менше за значення його кінця.

6.     Записуємо подвійну нерівність відносно аргументу 2х (записуючи, залишаємо місце для періоду функції)

7.     Записуємо подвійну нерівність відносно аргументу х (ділимо на два)

Оволодіння поняттям дійсного числа і набуття достатніх навичок дій з ірраціональними виразами – важлива умова успішного вивчення курсу алгебри і початків аналізу. У зв’язку з цим підбираю систему вправ, направлених на закріплення понять цілого і раціонального числа. До таких вправ відносяться доведення цілочисельності та раціональності виразів, у записи яких входять радикали.

При їх виконанні використовується теорема Вієта (пряма і обернена), так паралельно відбувається і систематизація знань, пов’язаних з використанням коренів квадратного рівняння.

Якщо числа  m і n  задовольняють системі рівнянь                       

 то вони є коренями рівняння

Наведемо приклади  використання цього твердження:

Довести, що 

Доведення.   Доданки лівої частини рівності позначимо через m і n,

  тоді  m  n = 2, m + n= 4, а за теоремою, оберненою теоремі Вієта вони повинні бути коренями квадратного рівняння                         ,

тоді:   

Додаючи почленно рівності, одержимо потрібний результат.

А при розв’язуванні системи ірраціональних рівнянь знову звертаємося до теореми Вієта 

тоді            є коренями рівняння    рівняння                      ,

тоді 

Відповідь: (27;1), (1;27)

А при розв’язуванні систем показових рівнянь:

Відносно змінної     отримуємо рівняння                                 ,

корені якого  4 і 1.

Тому

Оскільки рівняння              не має розв’язків, то розв’язки  другої є розвязками системи.

Відповідь: 

А при вивченні логарифмів пропоную завдання:

Обчислити без таблиць                            ,   якщо  

Розв’язок

                                                                      За теоремою Вієта отримуємо рівняння, яке має корені

Відповідь: 

Чому дорівнює сума кутів _____, якщо ______ є коренем рівняння _______

Розв’язок.

І знову теорема Вієта!

Сума десяти перших членів арифметичної прогресії 140, а добуток  _________.

Записати цю прогресію.

Розв’язок

Звідки х₁ = 21,  х₂  =  7

Якщо а₂ = 21, а₉ = 7, то одержимо: 27; 21; 19….

Якщо а₂ = 9, а₉ = 21, то 5,7,9,11….

Довжина катетів прямокутного трикутника є коренем рівняння х₂ – 3х + 1 =0. Знайти радіус кола, вписаного в трикутник.

Нехай S – площа трикутника, Р - його периметр.

Ще раз хочу наголосити, що навчання математиці являє собою ланцюжок послідовних кроків, кожний із яких доповнює відомі учням знання і уміння розумною дозою нових знань і вмінь, які, в свою чергу, стають інструментом для отримання учнями нових знань і вмінь. Відрізняючи головне і другорядне в математичних знаннях і уміннях, сформованих у певній системі, учень завжди зуміє легко відтворити те, що забуто (не знаєш – зумій вивести), і вільно використовувати одержані знання по мірі необхідності.

Від простого до складного, до понять, від відомого до невідомого, від знань до умінь, а від умінь – до навичок.

Розв’язування задач такого типу сприяє оволодінню учнями не тільки певною системою знань, а й «інструментарієм їх одержання.

Узагальнення – один із самих важливих факторів розвитку математики. У.Сойер

Процес узагальнення і систематизації знань можна уявити у вигляді такої послідовності етапів:

-         Накопичення, аналіз фактів, явищ, законів;

-         Встановлення внутріпредметних відношень на основі знаходження інваріантних ознак;

-         Утворення наукового поняття;

-         Розгляд групи наукових понять;

-         Аналіз між понятійних відношень у межах теми;

-         Побудова більш складних по конструкції понять;

-         Законів, алгоритмів, теорем, методів доведення;

-         Аналіз системо утворюючих між понятійних відношень, встановлених у межах теорій, у межах навчального предмета в цілому;

-         Утворення системи знань навчального предмета.

Відсутність у школярів уміння узагальнювати – одна з причин слабого оволодіння ними системою знань. Тому треба надавати великого значення урокам узагальнення і систематизації знань. Це дозволяє поглибити, розширити, узагальнити і систематизувати знання учнів, дає можливість установити ті зв’язки і відношення між елементами знань, які раніше не були розкриті. Узагальнююче повторення розглядаю на рівні: понять, системи понять і теорій.

Алгоритми дій при розв’язуванні ірраціональних рівнянь:

І спосіб

1.Знаходимо ОДЗ рівняння. Якщо вона пуста, то розв’язків немає. У тому випадку, якщо вона складається з окремих точок, то перевіркою виділяємо корені.

2.Якщо ОДЗ – нескінченна множина, то виконуємо рівносильні перетворення, мета яких – звести рівняння до раціонального.

3. Знаходимо множину розв’язків одержаного раціонального рівняння (вона співпадає з множиною розв’язків даного в умові) і записують відповідь.

ІІ спосіб

1.     Виконуємо перетворення, здійснюючи перехід від даного рівняння до рівнянь, які є наслідком даного.

2.     Знаходимо корені рівнянь наслідків.

3.     Виконуємо перевірку коренів, відкидаючи сторонні.

4.     Записуємо відповіді.

У старших класах прагну організовувати на уроках самостійні відкриття школярами нових зв’язків між вивченими поняттями, проведення узагальнення отриманих знань. Вважаю за доцільне будувати процес навчання так, що при вивченні нового матеріалу проходить його первинна систематизація, а роль узагальнюючого повторення полягає в тому, щоб зосередити увагу школярів на зв’язках між основними поняттями.

У курсі алгебри і початків аналізу на підсумковому уроці-семінарі з теми «Застосування похідної» прагну з позиції теорії диференційованого обчислення показати учням, як з допомогою поняття похідної отримують єдине трактування такі поняття, як швидкість хімічної реакції, миттєва швидкість прямолінійного нерівномірного руху, сила струму в колі, теплоємність тіла і т.д. Більш тісно пов’язую поняття похідної розширяється не за рахунок нерозкритих сторін відомих учнями фактів. Так поняття похідної може бути використане для доведення тотожностей.

Довести тотожність cos⁴x – 1 cos⁴x-2cos²x + 1 cos2x = -5

                                             8                          2               8

Для доведення розглянемо функцію   f(x) = cos⁴x – 1 cos⁴x-2cos²x+1 cos2x.

                                                                                     8                       2

Довести дану тотожність, значить довести, що при будь-якому х значення функції f(x) дорівнюють -5. Тобто слід встановити, що ця функція стала і її значенням є

                             8

число  -5 . f `(x) = -4cos³x sinx+0.5sin4x+4sinx cosx – sin2x= -4cos³xsinx+

            8

+sin2xcos2x+2sin2x-sin2x=-sin2x(cos²x+sin²x)+sin2x=-sin2x+sin2x=0

Оскільки f `(x)=0 для будь-якого x, то на множині R функція f(x)  постійна. Щоб знайти цю сталу, обчислимо f(0).  f(0) = cos⁴0 – 1 cos0-2cos²0 + 1 cos0 =1 – 1 -2 +1

                                                                            8                       2                  8       2

= -5 Тому, на множині R  дана рівність є тотожністю.

        Одна з головних проблем, яку повинен  вирішувати вчитель, готуючись до уроку-відбір системи завдань, яку повинен вирішувати вчитель, готуючись до уроку – відбір системи завдань, що найкраще відповідають меті уроку. Від успішного розв’язання цього питання в значній мірі залежить успіх уроку. Особливу увагу приділяю серії завдань, які сприяють формуванню в учнів уміння «розпізнавати» той чи інший тип задач. Адже, загальновідомо, що частина учнів не може виконати завдання лише тому, що не бачить шляхів хоч якогось підходу. І в цьому плані вміння «розпізнати» задачу і метод її розв’язання, особливо якщо вона відповідає обов’язковому рівню навчання, є особливо цінним.

       Так на уроці алгебри і початків аналізу в 10 класі пропоную учням записані на дошці рівняння. Не ставлю за мету, щоб учень розв’язав, а лише щоб повідомив, до якого типу воно відноситься і яким методом розв’язується. Рівняння записано не послідовно за методами розв’язування, що принципово відрізняє від традиційної системи побудови задачників, до якої школярі звикли, де в окрему групу зібрано однотипні рівняння

    В залежності від мети уроку можна запропонувати учням дати повний розв’язок будь-якого з рівнянь усно. Тоді підбирають таку їх кількість, що дісталося кожному. Після обговорення проводиться самостійна робота, де кожний учень оформляє розв’язок  одного з рівнянь (відмінного від того, яке пояснював).

  Така форма роботи забезпечує високий рівень уваги і участі кожного в усній роботі і за короткий час прослухати і згадати достатньо інформації. Особливо ефективна така робота на уроках узагальнюючого повторення з метою узагальнення певних прийомів, знайомих учням з різних тем.

Для здібний дітей по питаннях, що повторюються вважаю за доцільне звертатись до розв’язування задач підвищеної складності або вправ, що вимагають використання знань у комплексі.

Наприклад:

1.     У чому різниця графіків функцій  у =lgx²   і  у =2lgx ?

Відповідь. Функція у =lgx²   - парна. Вона визначена на множині всіх значень, крім 0, а для функції у =2lgx Д(у) = (0,+      ). Тому графік функції у =lgx²   складається з двох віток: з графіка функції у =lgx²   і симетричної їй відносно осі 0у.

2.     Побудувати графік функції у=  х-2  +  2-х +5

Відповідь: Знайдемо область визначення функції

Графіком функції є точка (2;5)

3.     Знайти основу логарифмічної функції у=log_ax, графік якої проходить через точку А( 1, -2)

               4

Чим повинен керуватися вчитель при підборі системи вправ на уроці?

Доцільною є пам’ятка для аналізу педагогічної цінності задачі:

1.     Реалізацію якої мети(навчальної) передбачає задача?

2.     Які елементи математичної освіти мають на увазі?

3.     Чи доцільна саме ця задача?

4.     Чому такі, а не інші конкретні величини взяті в задачі?

5.     Чому вибрана саме така фабула задачі?

6.     Чому взято такі, а не інші числові дані?

7.     Чи відповідають числові дані реальній ситуації, в якій мала б виникнути аналогічна задача?

8.     Чи цікава задача для учнів, чи викликає в учнів інтерес до відповіді чи способу розв’язання, чим саме?

9.     Чи зможе конкретний учень самостійно розв’язати дану задачу? Що він для цього повинен знати, пам’ятати, вміти, уявляти собі? А якщо не зможе розв’язати, то про що це свідчить?

10.          Чим і в якій мірі йому повинен допомогти вчитель?

11.         Як ця задача зв’язана з попередньою і наступною роботою учня?

Даючи таку оцінку кожній навчальній задачі, вчитель зуміє при мінімальній затраті навчального часу домагатись хороших результатів як у навчанні, так і в розвитку математичного мислення учнів. Але вчитель не лише сам повинен уміти оцінити задачу, виявляючи її корисні навчальні якості, а і повинен навчити цьому учнів.

    Тому після розв’язування кожної задачі треба ще раз оглянутися назад, звернути увагу на метод розв’язування, знайти інші шляхи розв’язування , виявити, що необхідно запам’ятати.

Найбільш дійовий засіб узагальнення і систематизації знань учнів про застосування похідної – розв’язування задач, що мають безпосередній вихід на їх прикладну направленість, що впевнює учнів у тому, що математичні методи мають важливе значення для розв’язування задач, які виникають у життєвій і виробничій практиці.

ЗАДАЧА.  При будівництві складського приміщення передбачено, що внутрішній його периметр не повинен перевищувати 60м. Яких розмірів повинне бути приміщення, щоб його площа була найбільшою?

РОЗВ’ЯЗОК.   

Нехай х-довжина приміщення в метрах, тоді його ширина

Площа приміщення

Очевидно, що                     

 Знайдемо найбільше значення

                             - критична точка

Тому розміри приміщення     15м і 15м

Учні роблять висновок, що з усіх прямокутників заданого периметра найбільшу площу має квадрат.

Для сильних учнів пропоную задачу:

Необхідно підготувати яму для силосу з поперечним перерізом у вигляді рівнобічної трапеції. Стінки її і дно необхідно зацементувати. Якою повинна бути величина кута нахилу ____, щоб витратити як найменше цементу, якщо глибина ями Н, а площа поперечного перерізу В.

РОЗВ’ЯЗОК.  

Урок-семінар з теми «Похідна і її застосування»

План підготовки

Учні повинні знати:

1.     Правила знаходження похідної.

2.     Основні напрямки застосування похідної

3.     Достатня умова зростання (складання) функції

4.     Необхідна і достатня умова існування екстремуму функції

5.     Правило знаходження найбільшого (найменшого) значення функції

Повинні вміти:

а) навести приклад складеної функції і знайти її похідну;

б) дослідити функцію і побудувати її графік;

в) знайти найбільше (найменше) значення функції

ТЕМИ рефератів:

1.Задачі, що приводять до поняття похідної.

2. І.Ньютон, Г. Лейбніц – творці диференціального числення.

3. Основні напрями застосування похідної.

4. Основні типи задач прикладного характеру на застосування похідної.

Завдання для сильних учнів: навести приклад задачі практичного характеру на застосування похідної і розв’язати її.

Хід семінару

1.     Виступи 2 учнів. Задачі, що приводять до поняття похідної.

2.     Змагання: хто швидше обчислить похідну (естафета біля дошки)

3.     Реферат. І.Ньютон, Г. Лейбніц – творці диференціального числення.

4.     Користуючись виготовленою таблицею, учень розповідає, як побудувати графік функції на основі проведеного дослідження.

5.     Учень, виступаючи в ролі вчителя, розв’язує з класом практичну задачу на застосування похідної.

6.     Взаємоперевірка завдання на знаходження найбільшого (найменшого) значення функції

7.     Завдання на інтуїцію.  Накреслено графіки 8 функцій, формулами задано 6. Встановити відповідність між графіками і формулами.

                   Підсумок уроку. Оцінки. Д/З

Задачі повинні вчити спостерігати, користуватись аналогією, індукцією, порівнянням і робити відповідні висновки.

1.     Поспостерігайте за рівностями:

Як у загальному виді записати закон, який у них проявляється?

Як знайти інші пари чисел, що мають таку ж властивість?

2.     Поспостерігайте за рівностями:

1        9 + 2 =11

12      9+3=111

123     9+ 4=1111

Як записати у загальному виді цю закономірність?

123…k   9  +  (k +1) = 111…1

Доведіть цю закономірність.

  

3.     Перевір, чи правильні рівності

  Чи завжди цілу частину мішаного числа можна виносити за радикал? А якщо ні, то чому в наведених прикладах результат був правильним?

На розслідування 20 хвилин.

Відповідь:

Наприклад,

Математика, як відомо, наука дедуктивна – (від латинського deduktio –виведення). Але це лише одна із її сторін. Але перш ніж провести доведення у всіх деталях, учні повинні здогадатись про ідею, що лежить в його основі, повинні спів ставляти спостереження і діяти по аналогії.

І так як у розв’язуванні будь-якої задачі присутні зернятка відкриття, то повинне знайтися місце і для узагальнення, умозаключення.

Для їх формування корисні вправи виду:

                                                                

                                                                                   Дії з коренями,

                                                                                   формули тригонометрії

                                                                                 

                                                                                    Похідні функцій

                                                                                     Означення логарифма

                                                                                   Показникові і

                                                                                  логарифмічні рівняння

                                                                                     Властивості логарифмів,

                                                                                     формули тригонометрії,

                                                                                     дії з коренями

                                                                       Графіки взаємо – обернених функцій

                                                                                                 Поняття похідної

         У зв’язку з підготовкою до зовнішнього незалежного оцінювання останнім часом особливу увагу надаю вживанню тестових технологій на всіх етапах вивчення теми. Тому уроки вивчення нового матеріалу, як правило, закінчуються коригувальним тестом, що дає змогу вчителю отримати достовірну інформацію про ступінь розуміння учнями нового матеріалу і на основі цього проектувати подальше вивчення.

      Сучасний урок – це мистецтво поєднання методик та прийомів, що дають змогу Учителю відкрити Учню самого себе і само реалізуватися.

      Я вважаю себе щасливою людиною, бо бачу в очах своїх учнів відблиск несподіваної думки і радість пізнання, здивування. Кожний урок для мене – це надія на маленьке відкриття в результаті щиросердного єднання з дітьми.

     У сучасному динамічному світі дуже важко знайти своє місце випускникам школи. Задача вчителя – благословити в життя компетентну особистість, здатну до самореалізації. Як сформувати такого учня?  Що для цього можу зробити?

Продовжувати шукати нові досконаліші засоби навчання, форми та прийоми педагогічної діяльності:  думати, шукати, творити.

МЕТА досвіду: «Узагальнення і систематизація знань, умінь і навичок учнів на уроках математики»

Наша мета полягає не в тому, щоб зробити себе необхідними нашим дітям, а навпаки в тому, щоб допомогти їм скоріше обходитися без нас.

                                                                                  К.О.Конраді

Мої сходинки до вершини майстерності:

-         для того, щоб навчити дітей, потрібно викликати в них інтерес до предмета;

-         будь-які дії учнів потрібно глибоко мотивувати, усі знання повинні мати практичне застосування;

-         основа успішного навчання – системність роботи вчителя;

-         найкращим є трой метод, який подобається дітям;

-         бути об’єктивною завжди;

-         постійно самовдосконалюватись.

МОЯ мета: реалізувати свій творчий потенціал; виховувати обдарованого, зацікавленого, працьовитого учня; допомогти йому реалізувати свої інтереси та творчі здібності.

МЕТА досвіду: Поєднати різні форми і методи для оптимізації навчального процесу з математики, формувати критичне і логічне мислення учнів, розвивати пізнавальний інтерес, увагу на пам'ять, творчі здібності.

ЗАВДАННЯ досвіду:

-         з’ясувати теоретичні основи прийому узагальнення і систематизації знань учнів та шляхи його формування;

-          показати шляхи формування прийому узагальнення;

-         Продемонструвати можливості математики як навчального предмета для формування соціальної й інформаційної компетентностей учнів.

ОСНОВНА ідея досвіду

Формування соціальних та інформаційних компетентностей учнів шляхом систематичного узагальнення їх знань.

Спрямування навчально - пізнавальної діяльності школярів на підвищення інтересу до вивчення математики.

ПОШИРЕННЯ досвіду: Відбувається через проведення семінарів-практикумів, відкритих  уроків, наставництво, роботу методичного об’єднання вчителів природничо-математичного циклу, публікацію матеріалів у журналі «Відкритий урок. Розробки, технології, досвід».